已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．又已知f(2
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．又已知f(2)＝2，an＝
，bn＝
(n∈N*)，考查下列结论：①f（0）=0；②f（-1）=-1；③a2是a1，a3的等比中项；④b2是b1，b3的等差中项．其中正确的是______．（填上所有正确命题的序号）
| f(2n) |
| n |
| f(2n) |
| 2n |
赞 wangxu9258 幼苗
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∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0，∴①正确；
又f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，故②错；
又∵f（2）=2，∴f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，∴bn=
f(2n)
2n=
2f(2n−1) +2n
2n=
f(2n−1)
2n−1+1
即bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，故④正确；
又b1=
f(2)
2=1，∴bn=1+（n-1）×1=n，∴f（2n）=2nbn=n•2n，∴an=2n，∴数列{an}是等比数列，故③正确．
故答案为：①③④
又f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，故②错；
又∵f（2）=2，∴f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，∴bn=
f(2n)
2n=
2f(2n−1) +2n
2n=
f(2n−1)
2n−1+1
即bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，故④正确；
又b1=
f(2)
2=1，∴bn=1+（n-1）×1=n，∴f（2n）=2nbn=n•2n，∴an=2n，∴数列{an}是等比数列，故③正确．
故答案为：①③④
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