已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）

解题思路：（1）求f（x）的导数，得f′ (x)＝1−axx，再讨论导数的正负，可得f（x）的单调增区间为(0，1a)，f（x）的单调减区间为(1a，+∞)；（2）根据函数单调性与导数之间的关系，可得f′ (x)＝1x−a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，结合x＞1加以讨论可得实数a的取值范围为[1，+∞）；（3）由（2）知：当a=1时f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得lnx＜x−1在（1，+∞）上成立，由此令x=1+12n得ln（1+12n）＜12n，分别取n=1，2，3，…，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出（1+12）（1+122+）（1+123）…（1+12n）＜e，对任意的n∈N*成立．

（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得f′ (x)＝
1/x−a＝
1−ax
x]…（2分）
令f’ (x)＝0，x1＝0，x2＝
1
a
当0＜x＜
1
a时，f′（x）＞0；当x＞
1
a时，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的单调增区间为(0，
1
a)，f（x）的单调减区间为(
1
a，+∞)，…（4分）
因此，f（x）的极大值为f(
1
a)＝−lna−1+a，无极小值…（5分）
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴f′ (x)＝
1
x−a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜
1
x＜1
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，


∴f(x)＝lnx−(x−1)＜f(1)＝0，可得

lnx＜x−1，(x＞1)…（10分）
令x=1+[1
2n，可得ln（1+
1
2n）＜
1
2n…（11分）
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+
1/2]）+ln（1+[1
22）+ln（1+
1
23）+…+ln（1+
1
2n）＜
1/2]+[1
22+
1
23+…+
1
2n=1-
1
2n＜1…（13分）
即ln[（1+
1/2]）（1+[1
22）（1+
1
23）…（1+
1
2n）]＜lne
可得（1+
1/2]）（1+
1
22+）（1+
1
23）…（1+
1
2n）＜e，对任意的n∈N^*成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；数列的求和．

考点点评： 本题求函数的单调区间与极值，并依此证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和不等式恒成立的证明等知识，属于中档题．