从方差未知的总体 (μ=50)中抽取n=10的样本,算的平均数X=53,Sn-1=6,问大于该平均数以上的概率?
从样本平均数推断总体均值的统计情境
在统计学中，我们常常面临这样的问题：已知总体均值μ为50，但总体方差未知。现从该总体中随机抽取一个容量n=10的样本，计算得到其样本平均数X̄=53。这个结果——样本均值高于总体均值3个单位——立即引出了一个核心的统计疑问：这个差异是纯粹由随机抽样误差导致的偶然现象，还是暗示着总体均值可能已经发生了实质性的变化？由于我们缺乏总体方差的信息，无法直接使用Z分布进行精确计算，这使得问题的分析更具挑战性，也更能体现统计推断的实际应用场景。
统计推断的核心：假设检验与t分布的应用
面对这种情况，标准的统计方法是进行单样本t检验。我们首先建立原假设H₀: μ = 50，即认为总体均值没有变化，样本均值53的差异源于随机波动。由于总体方差未知，我们需用样本标准差S来估计总体标准差σ。此时，检验统计量不再服从标准正态分布，而是服从自由度为n-1=9的t分布。计算出的t值大小，取决于样本均值53与假设总体均值50的差值，以及样本标准差S的大小。如果S较小，意味着数据集中，那么t值会较大，我们更有可能拒绝原假设；反之，如果S很大，说明样本内部变异大，那么53与50的差异就更可能被归因于偶然性。
最终，我们需要将计算得到的t统计量与t分布表中的临界值进行比较，或者计算其对应的p值。如果p值小于预先设定的显著性水平（如0.05），我们就有足够的统计证据拒绝“总体均值为50”的原假设，认为总体均值可能已经不等于50。反之，则没有充分证据证明总体均值发生了变化。因此，仅凭“μ=50，n=10，X̄=53”这组信息，我们无法做出最终结论，还必须依赖样本标准差S这个关键信息来完成整个统计推断的拼图，这正是实践中统计分析的严谨性与科学性所在。
