如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、

解题思路：（1）根据圆周角定理及平行线的性质不难求解；（2）要使DE是圆的切线，那么D就是切点，AD⊥DE，又根据AD过圆心O，BC∥ED，根据垂径定理可得出D应是弧BC的中点．（3）可通过构建直角三角形来求解，连接BO、AO，并延长AO交BC于点F，根据垂径定理BF=CF，AF=R+OF，那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF，OB，然后根据勾股定理求出半径的长．

（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线（如图1）．
理由是：∵当点D是弧BC的中点时，AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AD是直径，
∴AD⊥BC，
∴AD过圆心O，
又∵DE∥BC，
∴AD⊥ED．
∴DE是⊙O的切线；

（3）过点A作AF⊥BC于F，连接BO（如图2），
则点F是BC的中点，BF=[1/2]BC=3，
连接OF，则OF⊥BC（垂径定理），
∴A、O、F三点共线，
∵AB=5，
∴AF=4；
设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3，
∴r²=3²+（4-r）²
解得r=[25/8]，
∴⊙O的半径是[25/8]．

点评：
本题考点： 切线的判定；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．

考点点评： 本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质，垂径定理等知识点，正确运用好圆心角，弧，弦的关系是解题的关键．