（2014•荆州模拟）已知函f（x）=x+[m/x+lnx，其中m为常数

解题思路：（1）求出原函数的导函数，根据m的范围讨论导函数的单调性，由导函数的符号确定原函数的单调区间；
（2）不等式f（x）≥3 在x∈（0，1]上恒成立，分离变量m，构造函数，由导数求出函数最大值，则实数m的范围可求；
（3）由（2）得：x+

2

x

+lnx≥3在x∈（0，1]上恒成立，换元后得不等式：ln(1−

1

k2

)＞3−(1−

1

k2

)−

2

1− 1 k2

，累加后利用分组求和得结论．

（1）f(x)＝x+
m
x+lnx(x＞0)，f′(x)＝1−
m
x2+
1
x＝
x2+x−m
x2，
当m≤−
1
4时f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，
当−
1
4＜m≤0时，在（0，+∞）上f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，
当m＞0时，在(0，
−1+
1+4m
2)上f′（x）＜0，f（x）在(0，
−1+
1+4m
2)上递减，
在(
−1+
1+4m
2，+∞)上f′（x）＞0，f（x）在(
−1+
1+4m
2，+∞)上递增；
（2）依题：x+
m
x+lnx≥3，即m≥3x-x²-xlnx在（0，1]上恒成立，
令g（x）=3x-x²-xlnx，则g′（x）=3-2x-lnx-1=2-2x-lnx，
即g′（x）=2（1-x）-lnx，由x∈（0，1]得，g′（x）≥0，从而g（x）在（0，1]递增，
故g_max（x）=g（1）=2，故m≥2；
（3）证明：由（2）得：x+
2
x+lnx≥3在x∈（0，1]上恒成立
⇒lnx≥3−x−
2
x在x∈（0，1]时恒成立（x=1时取等号），
取x＝1−
1

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数在求函数最值中的应用，考查了函数构造法和分离变量法，训练了利用分组求和法求数列的和，是难题．