f(x) |
x |
晴天暧阳 春芽
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由于函数g(x)=f(x)+[1/x],可得x≠0,
因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的,
故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.
由于当x≠0时,f(x)+
f(x)
x>0,
①当x>0时,(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x)>0,
所以,在(0,+∞)上,函数x•g(x)单调递增函数.
又∵
lim
x→0[xf(x)+1]=1,
∴在(0,+∞)上,
函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
因此,在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1 没有零点.
②当x<0时,由于(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x)<0,
②当x<0时,由于(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x)<0,
故函数 x•g(x)在(-∞,0)上是递减函数,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
故函数 x•g(x)在(-∞,0)上无零点.
综上可得,函g数(x)=f(x)+[1/x]在R上的零点个数为0,
故选:B
点评:
本题考点: 根的存在性及根的个数判断.
考点点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,函数的零点,属中档题.
1年前
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