如果已知函数f(x)在x1处可导,可否说明其导函数在该处连续?如果可以,如何证明?如果不可以,能不能举个反例?

letmelogin 1年前 已收到1个回答 举报
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liu_lq 幼苗

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其导函数不一定连续.如：
f（x）=x^2 sin（1/x） ,x≠0
f（x）=0,x=0.
这个函数在任何一点都是可导的,
x≠0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
x=0时,f'(x)=0
但是导函数在x=0处是不连续的.

1年前 追问

6

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举报 liu_lq

你的第二步不对。
应该这样：
[f(x0+ah)-f(x0-bh)]/h
=[f(x0+ah)-f(x0)]/h+[f(x0)-f(x0-bh)]/h
=a[f(x0+ah)-f(x0)/(ah)+b[f(x0-bh)-f(x0)]/(-bh)
=af'(x0)+bf'(x0)
=(a+b)f'(x0)

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答案就是这样的，但是我的那个第二步存在哪一点上呢

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是不是因为第一行的三个h需要同时变化而我只变了两个？

举报 liu_lq

你的第二步不符合导数的定义公式。
因为f'(x0-bh)=lim (d->0) [f(x0-bh+d)-f(x0-bh)]/d
这里bh不是啥无穷小数，得是定数。

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谢谢哈O(∩_∩)O
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