已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（m，n）为抛物线上任意一点，其中m≥0．

解题思路：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立y2＝2pxy＝kx⇒x(k2x−2p)＝0，由此可知抛物线与正比例函数有两个交点．（2）y2＝2px⇒2yy′＝2p⇒y′＝py，所以过点P的切线斜率为k＝pn，所以过改点的法线斜率为−1k＝−np，从而相应的法线方程为y−n＝−np(x−m)，由此可知抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）2+y2=p2+2pm（其中m为参数且m≥0）．（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x−k2+2k2p)2+(y−pk)2＝(k2+1k2)p2（k为参数且k≥0）然后再结合题设条件进行证明．

（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立

y2＝2px
y＝kx⇒x(k2x−2p)＝0
得到x1＝0，x2＝
2p
k2＞0，
因此抛物线与正比例函数有两个交点．（2分）
（2）y2＝2px⇒2yy′＝2p⇒y′＝
p
y，
所以过点P的切线斜率为k＝
p
n，
所以过改点的法线斜率为−
1
k＝−
n
p，
从而相应的法线方程为y−n＝−
n
p(x−m)，
因为抛物线关于x轴对称，
所以有其内切圆的圆心必在x轴上，令y=0得x=p+m，设内切圆的半径为R，
则R²=（p+m-m）²+（0-n）²=p²+n²=p²+2pm
从而抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）（6分）
（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为(x−
k2+2
k2p)2+(y−
p
k)2＝(
k2+1
k2)p2（k为参数且k≥0）（8分）
证明：设焦点弦AB所在直线方程为y＝k(x−
p
2)，与抛物线方成联立便可以得到

k2x2−p(k2+2)x+
p2k2
4＝0
ky2−2py−kp2＝0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝
k2+2
k2p，x1x2＝
p2
4；y1+y2＝
2p
k，x1x2＝−p2；
设伴随圆圆心为（m，n），则m＝
x1+x2
2＝
k2+2
2k2，n＝
y1+y2
2＝
n
k，
设伴随圆半径为RR2＝
1
4|AB|2＝
(k2+1)2
k4p2
所以伴随圆系方程为(x−
k2+2
k2p)2+(y−
p
k)2＝(
k2+1
k2)p2（11分）
命题：抛物线y²=2px（p＞0）以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线．（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的应用．

考点点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．