如何证明不等式x/1+x＜ln(1+x)＜x,x＞0

如何证明不等式x/1+x＜ln(1+x)＜x,x＞0
x/1+x＜ln(1+x)＜x x＞0
要有过程的(详细一点,不然我看不懂)!
天平上的鸭子 1年前 已收到4个回答 举报
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survey102 幼苗

共回答了10个问题采纳率：100% 举报

先看右边：
两相除,再同时去以e为底指数,之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+.)

1年前

12

gm1021 幼苗

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用求导的方法来做。
首先当x＝0时，这三个式子都为0（相等）；
其次对这三个式子分别求导：
[x/(1+x)]'=1/(1+x)^2
[ln(1+x)]'=1/(1+x)
x'=1
而当x>0时，0<1/(1+x)^2<1/(1+x)<1，说明相应的三个函数的增长速度后者比前者快，即函数图象后者在前者上方，即x/(1+x)＜ln(1+x)＜x...

1年前

0

oo精英9 幼苗

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忘了

1年前

0

便秘人 幼苗

共回答了35个问题 举报

三个式子求导，然后判断临界处的值的大小即可

1年前

0
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