已知函数f（x）=x+a2x，g（x）=x+lnx，其中a＞0．

解题思路：（Ⅰ）由h(x)＝2x+

a2

x

+lnx，其定义域为（0，+∞），知h′(x)＝2−

a2

x2

+

1

x

，

x∈(0，+∞)

，由x=1是函数h（x）的极值点，知3-a²=0，由此能求出a．
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）成立等价于f（x）_max＜g（x）_max．当x∈[1，e]时，g′(x)＝1+

1

x

＞0，故函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，g（x）_max=g（e）=e+1．由此能求出a的取值范围．

（Ⅰ）∵h(x)＝2x+
a2
x+lnx，其定义域为（0，+∞），…（1分）
∴h′(x)＝2−
a2
x2+
1
x，

x∈(0，+∞)…（2分）
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=0，即3-a²=0
∵a＞0，∴a＝
3．…（4分）
经检验当a＝
3时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴a＝
3…（5分）
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）
成立等价于f（x）_max＜g（x）_max…（6分）
当x∈[1，e]时，g′(x)＝1+
1
x＞0，
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（7分）
f′(x)＝1−
a2
x2＝
(x+a)(x−a)
x2，x∈[1，e]，a＞0
①当0＜a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2≥0，
∴函数f(x)＝x+
a2
x在[1，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝e+
a2
ee+
a2
e＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立，满足题意；…（9分）
②当1＜a＜e时，若1≤x＜a，则f′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2＜0，
若a＜x≤e，则f′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2＞0
∴函数f(x)＝x+
a2
x在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数，
而f（1）=1+a²，f(e)＝e+
a2
e
a）f（1）＜f（e）即1＜a＜
e时，
f(x)max＝f(e)＝e+
a2
e，e+
a2
e＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即
e≤a≤e时，
f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max≥g（x）_max，不合题意； …（12分）
③当a≥e时，x∈[1，e]，f′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2≤0，
∴函数f(x)＝x+
a2
x在[1，e]上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max＞g（x）_max，不合题意； …（13分）
综上知，a的取值范围为(0，
e)．…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查利用导数求函数最的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．