已知函数f(x)＝x+a2x−3，g(x)＝x+lnx，其中a＞0．F（x）=f（x）+g（x）．

解题思路：（1）根据已知条件推导出F′（x）≤[5/2]在（0，3]恒成立，由此入手构造新函数，结合二次函数的最值能求出实数a的取值范围．
（2）把f（x）变形为f（x）=

x2+a2−3x

x

，构造新函数t（x）=x²+a²-3x，利用题设条件结合二次函数的性质能求出实数a的取值范围．

（1）∵f(x)＝x+
a2
x−3，g(x)＝x+lnx，其中a＞0．
∴F（x）=f（x）+g（x）=2x+
a2
x+lnx-3，
∴F′(x)＝2−
a2
x2+
1
x，
∵函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤
5
2，
∴F′(x)＝2−
a2
x2+
1
x=
2x2+x−a2
x2≤[5/2]在（0，3]恒成立，
∴[5/2x2≥2x2+x−a2，
∴a2≥−
1
2x2+x，
令h（x）=-
1
2x2+x，则函数h（x）的对称轴x=1，
∴函数h（x）在（0，3]上最大值为h（1）=
1
2]，
要使a2≥h(x)＝−
1
2x2+x恒成立，a2≥h(x)max＝
1
2，
解得a＞

2
2，或a＜-

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查导数的综合运用，解题时要注意等价转化思想和构造法的合理运用．