已知函数f(x)=x+a2x-3，g(x)=x+lnx，其中a＞0，F(x)=f(x)+g(x)．

解题思路：先求出F(x)=2x+

a2

x

+lnx-3及其导数F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

（1）x=

1

2

是函数，y=F（x）的极值点，故F′(

1

2

)=0由此方程求a即可
（2）函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤

5

2

恒成立，由导数的几何意义知，此条件可以转化为导函数在x∈（0，3]的最大值小于等于[5/2]，
（3）可将函数在[1，2]上有两个零点的问题转化为相应的方程有两个根，分离出参数a，得到a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有两个不等实根，由二次函数的性质求得-x²+3x在x∈[1，2]上的值域，根据函数的图象即可得到参数a所满足的条件2≤a2＜

9

4

，a＞0，解之即得所求的实数a的取值范围

F(x)=2x+
a2
x+lnx-3，F′(x)=2-
a2
x2+
1
x（2分）
（1）F′(
1
2)=4-4a2=0且a＞0，∴a=1（4分）
（2）F′(x)=2-
a2
x2+
1
x≤
5
2对任意的x∈（0，3]恒成立（5分）
∴2a²≥-x²+2x对任意的x∈（0，3]恒成立，
∴2a²≥（-x²+2x）_max，而当x=1时，-x²+2x=-（x-1）²+1取最大值为1，
∴2a²≥1，且a＞0，∴a≥

2
2（8分）
（3）因为函数f(x)=x+
a2
x-3在[1，2]上有两个零点，
所以方程a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有两个不等实根（a＞0）（10分）
又因为函数y=-x2+3x=-(x-
3
2)2+
9
4在x∈[1，2]内的值域为[2，
9
4]（12分）
由函数图象可得：2≤a2＜
9
4，a＞0，所以：
2≤a＜
3
2，
即实数a的取值范围是[
2，
3
2)（14分）

点评：
本题考点： ["利用导数研究函数的极值","函数在某点取得极值的条件","利用导数研究曲线上某点切线方程"]

考点点评： 本题考点是利用导数研究函数的极值，考查了求导的运算，极值存在的条件，导数的几何意义，以及函数的零点与相应方程的根的关系，二次函数的图象与性质等知识，本题综合性强，转化灵活，能答题者观察转化的能力要求较高．

(1) F'(1/2)=0 a^2=1 因为a>0所以a=1
(2) 切线的斜率=F'(x)=2+1/x-a^2/x^2≤ 5/2 1-2a^2≤（x-1)^2恒成立，需满足1-2a^2≤0
a∈(0,1/√2]
(3) f(x)=0 x+ a^2/x -3=0 x^2-3x+a^2=0 在[1，2]上有两个零点需满足9-4a^2>0且f(1)≤0即a^2≤2
最终a∈(0,√2]