EROS239 幼苗
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(Ⅰ)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0,
∴f(0)=2f(0)
∴f(0)=0;
(Ⅱ)令x=y=1代入f(xy)=f(x)f(y)∴f(1)=f(1)2,
∵当x≠0时,f(x)≠0,
∴f(1)=1,
令y=x代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y) (x,y∈R),
f(2x)=2f(x)+2x2,f(2x)=f(2)f(x),
∴f(2)f(x)=2f(x)+2x2,
∵f(2)=2f(1)+2=4,
∴f(x)=x2,f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数.
(III)∵f(x)=x2,
∴由f(x)+a>ax,得x2-ax+a>0,
∴f(x)+a>ax对任意x∈(1,+∞)恒成立,
等价于x2-ax+a>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,
∵y=x2-ax+a的图象开口向上,对称轴方程是x=[a/2],
∴
a
2≤1,解得a≤2.
∴实数a的取值范围是(-∞,2].
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;抽象函数及其应用.
考点点评: 本题考查偶函数的证明和函数表达式的求法,考查等价转化思想的合理运用.解题时要认真审题,注意函数性质的灵活运用.
1年前
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定义已知定义在[-1,1]上的函数f(x)满足下列两个条件:
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下列函数中,同时满足:是奇函数,定义域和值域相同的函数是( )
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你能帮帮他们吗
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