设函数f(x)=e x +sinx，g(x)=ax，F(x)=f(x)-g(x)。

（Ⅰ）F(x)=e ^x +sinx-ax， ，
因为x=0是F(x)的极值点，所以， ，
又当a=2时，若x＜0， ；若 x＞0， ，
∴x=0是F(x)的极小值点，
∴a=2符合题意。
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x轴，由f(x ₁ )=g(x ₂ )得 ，
所以， ，
令 ，当x＞0时恒成立，
∴x∈[0，+∞时，h(x)的最小值为h(0)=1，
∴|PQ| _min =1。
（Ⅲ）令 ，
则 ， ，
因为 ，当x≥0时恒成立，
所以函数S(x)在 上单调递增，
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0，+∞）时恒成立；
因此，函数 在 上单调递增， ，
当x∈[0，+∞）时，恒成立；
当a≤2时， ， 在[0，+∞）单调递增，即 ，
故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立，
当a＞2时， ，
又∵ 在 上单调递增，
∴总存在 使得在区间 上 ，
导致 在 递减，
而 ，
∴当 时， 这与 对 恒成立不符，
∴ 不合题意，
综上，a的取值范围是 。