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(Ⅰ)∵函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数
∴f(x)+f(-x)=0即ln(ex+a)+ln(e-x+a)=0,即(ex+a)(e-x+a)=1,整理得a(e-x+ex+a)=0恒成立,故a=0
又g(x)=λx-cosx在区间[
π/3,
2
3π]上是减函数
g′(x)=λ+sinx在区间[
π
3,
2
3π]上恒小于等于0即,λ≤-sinx在区间[
π
3,
2
3π]上恒成立,可得λ≤-1
(Ⅱ)函数g(x)=λx-cosx在区间[
π
3,
2
3π]上是减函数,故函数g(x)的最大值是
π
3]λ−
1
2≤λt-1,即t≤
π
3+
1
2λ
由(Ⅰ)知λ≤-1,[π/3+
1
2λ]在(-∞,-1)上是减函数,故t≤[π/3−
1
2]
(Ⅲ)[lnx
f(x)=x2−2ex+m,由(Ⅰ)知f(x)=x,故方程可变为
lnx/x=x2−2ex+m
令f1(x)=
lnx
x],f2(x)=x2-2ex+m
则f1′(x)=[1−lnx
x2,当x∈(0,e)时f1′(x)>0,f1(x)为增函数;当x∈(e,+∞)时f1′(x)<0,f1(x)为减函数;
∴当x=e时,f1(x)的最大值为f1(e)=
1/e]
而f2(x)=x2-2ex+m=(x-e)2-e2+m2,
结合f1(x)与f2(x)的大致图象可得
当-e2+m>[1/e],即 m>e2+[1/e]时,方程无实根;
-e2+m=[1/e],m=e2+[1/e]时,方程有一个实根;
-e2+m<[1/e],0<m<e2+[1/e]时,方程有两个实根;
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;奇偶性与单调性的综合.
考点点评: 本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,解答本题关键是掌握导数与单调性的关系,由函数的单调性判断出函数的最值,本题中第二问中的恒成立的问题就是一个求最值,利用最值建立不等式的题型,本类题运算量大,且多是符号算,故解题时要严谨认真,避免因运算失误或变形失误导致解题失败.
1年前
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是R上的奇函数.
1年前1个回答
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是R上的奇函数.
1年前1个回答
已知函数f(x)=ex-ln(x+m),其中m∈R且m为常数.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗