已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的

（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x ² -x-2，其顶点坐标是（
1
2 ，-
9
4 ）；

（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），
点N的坐标为N（h，-t），
则

0=2k+b
-
9
4 =
1
2 k+b ，
解它们组成的方程组得：

k=
3
2
b=-3 ，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=
3
2 x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t=
3
2 h-3，
∴h=2-
2
3 t，
其中
1
2 ＜h＜2，
∴s=
1
2 ×1×2+
1
2 （2+t）（2-
2
3 t）=-
1
3 t ² +
1
3 t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=-
1
3 t ² +
1
3 t+3，
∵M点坐标是（
1
2 ，-
9
4 ）；
∴QN最大值为：
9
4 ，
∴自变量的取值围是： 0＜t＜
9
4 ；

（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P ₁ （
5
2 ，
7
4 ），P ₂ （
3
2 ，-
5
4 ）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m ² -m-2，PA ² =（m+1） ² +n ²
PC ² =m ² +（n+2） ² ，AC ² =5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠ACP=90°则AP ² =PC ² +AC ² ．
可得：m ² +（n+2） ² +（m+1） ² +n ² =5，
解得： m 1 =
5
2 ，m ₂ =-1（舍去）．
所以点P（
5
2 ，
7
4 ）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC ² =PA ² +AC ²
∴n=m ² -m-2
（m+1） ² +n ² =m ² +（n+2） ² +5
解得： m 3 =
3
2 ，m ₄ =0（舍去）．所以点P（
3
2 ，-
5
4 ）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P ₁ （-1，-2），P ₂ （-
1
5 ，
2
5 ）或
（
4
5 ，-
8
5 ）．

1年前