已知函数f(x)=msin X+根号2cos X(m＞0）的最大值为2

f(x)的最大值为√(m²+2)=2,所以m²=2,而m>0,所以m=√2
那么f(x)=√2*sinx+√2*cosx=2(√2/2*sinx+√2/2*cosx)=2sin(x+π/4)
所以f(A-π/4)=2sinA,f(B-π/4)=2sinB
那么就有：2sinA+2sinB=4√6sinAsinB,即sinA+sinB=2√6*sinAsinB
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=3/(√3/2)=2√3,所以sinA=√3/6*a,sinB=√3/6*b
那么√3/6*(a+b)=2√6*√3/6*a*√3/6*b=√6/6*ab,所以a+b=√2*ab,所以(a+b)²=2(ab)² ①
余弦定理：a²+b²-c²=2abcosC,所以a²+b²=ab+9,那么(a+b)²=a²+b²+2ab=3ab+9 ②
联立①②,得：2(ab)²-3ab-9=0,[2(ab)+3](ab-3)=0,而ab>0,所以ab=3
所以S△ABC=1/2*ab*sinC=1/2*3*√3/2=3√3/4

这一题有几个步骤，第一确定m为根号2第二化简函数表达式，第三加上正弦定理求出a＋b＝4根号3ab，第四加上c边，角的条件和余弦定理，求出ab的值，第五运用面积公式求出答案