1、求一个正交变换,将二次型f（x1,x2）=11x12+24x1x2+4x22化成标准形,并写出所有正交变换的矩阵

11 12
12 4
|A-λE| =
11-λ 12
12 4-λ
= (11-λ)(4-λ)-12^2
= λ^2 -15λ - 100
= (λ-20)(λ+5).
A的特征值为 λ1=20,λ2=-5.
A-20E= -9 12 --> 3 -4
12 -16 0 0
得属于特征值20的特征向量 (4,3)',单位化得 a1=(4/5,3/5)'
A+5 = 16 12 --> 4 3
12 9 0 0
得属于特征值-5的特征向量 (3,-4)',单位化得 a1=(3/5,-4/5)'
令P=(a1,a2) =
4/5 3/5
3/5 -4/5
则P是正交矩阵.
正交变换将f化为 20y1^2 - 5y2^2.

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