（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：[1/2]，[1/3]，[2/3

解题思路：①前24项构成的数列是：[1/2]，[1/3]，[2/3]，[1/4]，[2/4]，[3/4]，[1/5]，[2/5]，[3/5]，[4/5]，[1/6]，[2/6]，…，[1/8]，[2/8]，[3/8]，故a₂₄=[3/8]；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是[1/2]，1，[6/4]，2，…[n−1/2]，由等差数列定义知：数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=

n2+n

4

；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，即：

n2+n

4

＜10，

(n+1)2+(n+1)

4

≥10，故a_k=[5/7]．

①前24项构成的数列是：[1/2]，[1/3]，[2/3]，[1/4]，[2/4]，[3/4]，[1/5]，[2/5]，[3/5]，[4/5]，[1/6]，[2/6]，…，[1/8]，[2/8]，[3/8]，
∴a₂₄=[3/8]，故①正确；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是[1/2]，1，[6/4]，2，…[n−1/2]，
由等差数列定义[n−1/2−
n−2
2]=[1/2]（常数）
所以数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，故②不正确．
③∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，
所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=
n2+n
4，故③正确；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，
即：
n2+n
4＜10，
(n+1)2+(n+1)
4≥10，∴k=7，a_k=[5/7]．故④正确．
故答案为：①③④．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；命题的真假判断与应用；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．