案遵平 幼苗
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解(1)由韦达定理得:x1x2=-1,x1+x2=2t,
则f(x1)f(x2)=
x1−t
x12+1•
x2−t
x22+1=
x1x2−t(x1+x2)+t2
x12x22+(x1+x2)2−2x1x2+1=−
1/4].
(2)f′(x)=
x2+2tx+1
(x2+1)2,由于x1,x2为方程x2-2tx-1=0的两实根,
故当x∈[x1,x2]时,x2-2tx-1≤0恒成立,得f′(x)≥0在[x1,x2]上恒成立,
所以f(x)在[x1,x2]上递增,
所以由题意知g(t)=f(x2)-f(x1)=
x2−t
x22+1−
x1−t
x12+1,
结合(1),将1=-x1x2,t=
x1+x2
2代入上式化简得
g(t)=
x1−x2
2x1x2=
t2+1.
在h(t)中,令u=log2t,则u∈(0,1],
则函数化为y=
u2+1•
1
u2+1,化简得y=
u2+1
u=u+
1
u,u∈(0,1],
根据对勾函数的性质,该函数在(0,1]上递减,
所以函数h(t)的值域为[2,+∞).
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的定义域及其求法;函数的值域;函数的最值及其几何意义.
考点点评: 本题综合考查了函数的单调性、最值等知识方法;中间利用韦达定理进行整体代换进行化简利用换元法研究函数的值域等方法要注意体会.
1年前
你能帮帮他们吗