由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a≠0）引切线，切点为P1（x1，y1）（O，P1两点不重合），再由P1引此曲线的

解题思路：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）求导得直线的斜率，设出过曲线上的点P₁（x₁，y₁）的切线L₁的方程，再由切线L₁过原点O求解；
（2）不妨设过曲线上的点P_n+1（x_n+1，y_n+1）处的切线L_n+1方程为y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），由L_n+1过点P_n（x_n，y_n）代入方程，化简可得其关系；
（3）由（2）的结论有x_n+1=-[1/2]x_n+[3/2]a，通过配方转化为x_n+1-a=-[1/2]（x_n-a）有数列{x_n-a}是首项为x₁-a=[a/2]，公比为-[1/2]的等比数列求得x_n=[1-(−

1

2

)n]a再比较．

（1）由y=x³-3ax²（a≠0）得y′=3x²-6ax
过曲线上的点P₁（x₁，y₁）的切线L₁的方程为
y-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）
又∵切线L₁过原点O，-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）化得x₁=[3a/2]

（2）过曲线上的点P_n+1（x_n+1，y_n+1）处的切线L_n+1方程为
y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），
L_n+1过点P_n（x_n，y_n）得x_n³-3ax_n²-x_n+1³+3ax_n+1²=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x_n-x_n+1），
由于x_n≠x_n+1，分解因式并约简，得：x_n²+x_nx_n+1+x_n+1²-3a（x_n+x_n+1）=3x_n+1²-6ax_n+1
∴x_n²+x_nx_n+1-2x_n+1²-3a（x_n-x_n+1）=0
（x_n-x_n+1）（x_n+2x_n+1）-3a（x_n+x_n+1）=0
∴x_n+2x_n+1=3a

（3）由（2）得：x_n+1=-[1/2]x_n+[3/2]a，
∴x_n+1-a=-[1/2]（x_n-a）
故有数列{x_n-a}是首项为x₁-a=[a/2]，公比为-[1/2]的等比数列
∴x_n-a=[a/2](−
1
2)n−1，
∴x_n=[1-(−
1
2)n]a
∵a＞0，
∴当n为偶数时，x_n＜a；当n为奇数时x_n＞a

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义通过点在线上，构造数列模型考查数列变形转化及通项间的关系．