（2014•兴安盟一模）选修4-1：几何证明选讲

解题思路：（ I）直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出结论；
（ II）先根据切割线定理得到PA²=PB•PC；结合第一问的结论以及勾股定理求出AC＝6

5

，AB＝3

5

；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．

（ I）∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴[AB/AC＝
PA
PC]．…（3分）
（ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，[AB/AC＝
PA
PC＝
1
2]，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC＝6
5，AB＝3
5 …（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴[AB/AE＝
AD
AC] …（9分）
∴AD•AE＝AB•AC＝3
5×6
5＝90．…（10分）

点评：
本题考点： 与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．解决本题第一问的关键在于先由切线PA得到∠PAB=∠ACP．