如图,在三角形ABC中,D是边AC上一点,且BD=CD=4,BC=根号2倍的AB,BC=3AD,求∠C的正弦值

设AD=x,则BC=3AD=3x,AB=BC/√2=3x/√2,在△ABC中,由余弦定理,
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)=[(x+4)^2+9x^2-9x^2/2]/[6x(x+4)]
=(11x^2/2+8x+16)/[6x(x+4)],
同理,在△BCD中cosC=(9x^2+16-16)/(24x)=3x/8,①
∴(11x^2/2+8x+16)/[6x(x+4)]=3x/8,
∴22x^2+32x+64=9x^3+36x^2,
整理得9x^3+14x^2-32x-64=0,x>0,
∴x=2.
代入①,cosC=3/4,
∴sinC=√7/4.