线性代数：对于任意一个mXn矩阵A,一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得：

首先,这不是任意一个A都满足的,满足这个条件的A必须是秩为r的,否则肯定不成立
如果A的秩为r,这一定存在r个列向量线性无关,我们通过列变换把他们换到最前面r个列去
变换后的矩阵为AQ1
由于它秩序是r,这AQ1必然有r个行线性无关,通过行变换可以把它变换到开始r行
得到P1AQ1
根据它的秩为r,我们知道最左侧的r个列一定能线性表述其余的列,我们可以通过初等变换消去右侧的n-r个列得到
P1AQ1Q2
此时,矩阵变为
A1 0
A2 0

矩阵的秩序依然是r,所以你可以通过左乘行变换矩阵消除底下的n-r行,得到
P2P1AQ1Q1
A1 0
0 0

此时A1是一个可逆r阶矩阵,我们设它的逆矩阵是B则P3
B 0
0 0
左乘上述矩阵就可以把它变换为
E 0
0 0
此时P= P2 P1 P3,
Q=Q1 Q2