如图，设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为A，点B，F2关于F1对称，且AB⊥

解题思路：（Ⅰ）由AB⊥AF₂及勾股定理可知AB2+A

F

2 2

＝B

F

2 2

，即9c²+b²+a²=16c²，由此能示出椭圆离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知△AF₁F₂是边长为a的正三角形，所以S＝

3

4

a2＝

3

，解得a＝2，c＝1，b＝

3

，由此求出△ABF的外接圆圆心为F₁（-1，0），半径r=2，F₁（-1，0）到直线l的距离为d=2，由此能求出P到直线l：x-

3

y-3=0距离的最大值．

（Ⅰ）由题意，B(−3c，0)，AB＝
9c2+b2，AF2＝a，BF2＝4c…（2分）
由AB⊥AF₂及勾股定理可知AB2+A
F22＝B
F22，即9c²+b²+a²=16c²…（4分）
因为b²=a²-c²，所以a²=4c²，解得e＝
c
a＝
1
2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知△AF₁F₂是边长为a的正三角形，所以S＝

3
4a2＝
3
解得a＝2，c＝1，b＝
3…（8分）
由AB⊥AF₂可知直角三角形ABF₂的外接圆以F₁（-1，0）为圆心，半径r=2
即点P在圆（x+1）²+y²=4上，…（10分）
因为圆心F₁到直线l：x−
3y−3＝0的距离为d＝
|1+3|
2＝2＝r…（12分）
故该圆与直线l相切，所以点P到直线l的最大距离为2r=4…（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的离心率的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．