椭圆E的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为23，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两个不重合的点，且满足：CA＝

解题思路：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于e＝

2 3

，焦点在x轴上，可设椭圆E的方程为x²+3y²=3a＞0．当λ=1时，因为

CA

＝

BA

，可得：C为线段AB的中点，由对称性可知：AB⊥x轴．故x₁=x₂=-1．把（-1，y₁）代入①可得1+3

y

2 1

＝3a，解得|y₁|，利用S△OAB＝

1

2

×1×2|y1|=

3a−1 3

=1，解得3a，即可得到椭圆的方程．
（2）当λ≠1时，l存在斜率，可设l的方程为y=k（x+1）．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由已知

CA

＝λ

BC

可得坐标之间的关系，利用三角形的面积公式及其基本不等式可得：S△OAB＝

1

2

×1×|y1−y2|=

|k(x1−x2)|

2

=

|k|

3k2+1

|

λ+1

λ−1

|≤

1

2 3

|

λ+1

λ−1

|，当且仅当k2＝

1

3

时取等号．进而解得x₁，y₁．代入椭圆方程即可得到3a用3λ表示．故S的最大值及其椭圆方程．

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵e＝

2
3，焦点在x轴上，∴可设椭圆E的方程为x²+3y²=3a＞0．①
（1）当λ=1时，∵

CA＝

BA，
∴C为线段AB的中点，由对称性可知：AB⊥x轴．
故x₁=x₂=-1．
把（-1，y₁）代入①可得1+3
y21＝3a，解得|y1|＝

3a−1
3，
∴S△OAB＝
1
2×1×2|y1|=

3a−1
3=1，解得3a=4．
∴椭圆E的方程为
x2
4+
3y2
4＝1．
（2）当λ≠1时，l存在斜率，可设l的方程为y=k（x+1）．


CA＝λ

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立得到一元二次方程、根与系数的关系、向量运算、基本不等式的性质等是解题的关键．