设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）设过定点（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且∠EOF=90°（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的值；
（III）设A（2，0），B（0，

）是曲线C的两个顶点，直线y=mx（x＞0）与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

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ddvtk1 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y），则有

|x−4|

(x−1)2+y2

＝2，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由

y＝kx+2

3x2+4y2＝12

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由根的判别式和l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°，得

•

＝0，由此能够求出直线l的斜率k的值．
（Ⅲ）

y＝mx(m＞0)

3x2+4y2＝12

解方程组得E(

3+4m2

，m

3+4m2

)，F(−

3+4m2

，−m

3+4m2

)，S_{四边形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁，由此能还应出S_{四边形AEBF}的最大面积．

（Ⅰ）设曲线C上的任意一点P（x，y）
则有
|x−4|

(x−1)2+y2＝2化简得：
x2
4+
y2
3＝1（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆的交点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）

y＝kx+2
3x2+4y2＝12⇒（3+4k²）x²+16kx+4=0△=（16k）²-16（3+4k²）＞0⇒k＜−
1
2或k＞
1
2x1+x2＝−
16k
3+4k2，x1x2＝
4
3+4k2（6分）
因为l与椭圆交于不同的两点E，F且∠EOF=90°得

OE•

OF＝0，x₁x₂+y₁y₂=0x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

1年前

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