已知点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，设点M的轨迹为C．

（Ⅰ）设M（x，y），依题意有：
|ME|
|MF| =2 ，
∴

(x-8) 2 + y 2

(x-5) 2 + y 2 =2 ，（2分）
整理得曲线C的方程为（x-4） ² +y ² =4．（4分）
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点，只需曲线C的圆心（4，0）到直线l的距离小于圆的半径2．
∴
|4k|

k 2 +1 ＜2 ，
解得， -

3
3 ＜k＜

3
3 ．（7分）
（2）设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），Q（x ₀ ，y ₀ ），则有0＜x ₁ ＜x ₀ ＜x ₂ ．
当k=0时，A（2，0），B（6，0），
由
|AQ|
|QB| =
|OA|
|OB| 知，
x 0 -2
6- x 0 =
2
6 ，
∴x ₀ =3，即点Q的坐标为（3，0）．（8分）
当k=
1
2 时，由

y=
1
2 x
(x-4 ) 2 + y 2 =4
得方程5x ² -32x+48=0，∴ x 1 + x 2 =
32
5 ， x 1 x 2 =
48
5
由
|AQ|
|QB| =
|OA|
|OB| 知，
x 0 - x 1
x 2 - x 0 =
x 1
x 2 ，
整理得 x 0 =
2 x 1 x 2
x 1 + x 2 =3 ，∴ y 0 =
3
2
∴即点Q的坐标为（3，
3
2 ）．（10分）
猜想，点Q在直线x=3上．（11分）
证明如下：
方法1，由

y=kx
(x-4 ) 2 + y 2 =4
得（1+k ² ）x ² -8x+12=0，（12分）
∴ x 1 + x 2 =
8
1+ k 2 ①， x 1 x 2 =
12
1+ k 2 ②
由
|AQ|
|QB| =
|OA|
|OB| 知，
x 0 - x 1
x 2 - x 0 =
x 1
x 2 ，
整理得 x 0 =
2 x 1 x 2
x 1 + x 2 =3
即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．（15分）