若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y＝ax2+154x−9都相切，则a等于-[25/64]或-1-[25/64]

解题思路：已知点（1，0）不知曲线y=x³上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x³相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax²+[15/4]x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．

由y=x³⇒y'=3x²，设曲线y=x³上任意一点（x₀，x₀³）处的切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0＝
3
2
①当x₀=0时，切线方程为y=0，则ax2+
15
4x−9＝0，△＝(
15
4)2−4a×(−9)＝0⇒a＝−
25
64
②当x0＝
3
2时，切线方程为y＝
27
4x−
27
4，由

y＝ax2+
15
4x−9
y＝
27
4x−
27
4⇒ax2−3x−
9
4＝0，△＝32−4a(−
9
4)＝0⇒a＝−1∴a＝−
25
64或a=-1．
故答案为：-[25/64]或-1

点评：
本题考点： 导数的几何意义．

考点点评： 熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax2+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．