若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切，则a等于 ___ ．

解题思路：已知点（1，0）不知曲线y=x³上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x³相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax²+[15/4]x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．

由y=x³⇒y'=3x²，设曲线y=x³上任意一点（x₀，x₀³）处的切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0=
3
2
①当x₀=0时，切线方程为y=0，则ax2+
15
4x-9=0，△=(
15
4)2-4a×(-9)=0⇒a=-
25
64
②当x0=
3
2时，切线方程为y=
27
4x-
27
4，由

y=ax2+
15
4x-9
y=
27
4x-
27
4⇒ax2-3x-
9
4=0，△=32-4a(-
9
4)=0⇒a=-1∴a=-
25
64或a=-1．
故答案为：-[25/64]或-1

点评：
本题考点： 导数的几何意义．

考点点评： 熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax2+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．

曲线y=x^3导数y'=3x^2
则过（1，0）点切线的斜率为3*1^2=3
则此直线为y=3(x-1)
y=ax^2+(15/4)x-9,导数y'=2ax+15/4
令y'=3
得切点处a与x的关系 x=-3/(8a)
带回y=ax^2+(15/4)x-9，得切点处y=-81/(64a)-9
切点在y=3(x-1)上，将xy代入
解...