（2013•蓟县二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点

解题思路：（Ⅰ）先证明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质，证明A₁B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AC₁D与平面ACC₁A₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求锐二面角的余弦值．

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB
所以AA₁⊥平面ABC…（1分）
因为AD⊂平面ABC，AA₁∥CC₁，所以CC₁⊥AD 　　　…（2分）
又因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC…（3分）
因为CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁；…（4分）
（Ⅱ）证明：连结A₁C，交AC₁于点O，连结OD
因为ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁中点
又D为BC中点，所以OD为△A₁BC中位线
所以A₁B∥OD…（6分）
因为OD⊂平面AC₁D，AB₁⊄平面AC₁D
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（Ⅲ）因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz
设AB=1，则A（0，0，0），C1(0，1，1)，D(
1
2，
1
2，0)
∴

AD=(
1
2，
1
2，0)，

AC1=（0，1，1）…（9分）
设平面AC₁D的法向量为
.
n=（x，y，z），则有



n•

AD＝0

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查线面垂直，线面平行，考查面面角，考查空间向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．