（2013•长春一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB
（2013•长春一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O为AC中点．（1）证明：A1O⊥平面ABC；
（2）若E是线段A1B上一点，且满足VE−BCC1＝
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解题思路：（1）由等腰三角形三线合一，可得A1O⊥AC，进而由侧面AA1C1C⊥底面ABC，结合面面垂直的性质定理可得A1O⊥平面ABC；
（2）由VE−BCC1＝
VABC−A1B1C1，可得BE＝
BA1，即A1E＝
A1B，解Rt△A1OB求出A1B，进而可得A1E的长度
（2）由VE−BCC1＝
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证明：（1）∵AA1=A1C=AC=2，且O为AC中点，
∴A1O⊥AC，
又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，A1O⊂侧面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC．（6分）
（2）VE−BCC1＝
1
12VABC−A1B1C1＝
1
4VA1−BCC1，
因此BE＝
1
4BA1，
即A1E＝
3
4A1B，
又在Rt△A1OB中，A1O⊥OB，A1O＝
3，BO=1
可得A1B=2，
则A1E的长度为[3/2]．（12分）
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
考点点评： 本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识．同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构．本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
1年前
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