（2011•资中县模拟）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an-n+1（n∈N+）．

解题思路：（1）法一：由a_n+1=2a_n-n+1，得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），又a₁=2，则a₁-1=1，由此能够证明数列{a_n-n}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
法二：

an+1−(n+1)

an−n

＝

2an−n+1−(n+1)

an−n

=2，又a₁=2，则a₁-1=1，由此能够证明数列{a_n-n}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn＝

n

2an−2n

，知bn＝

n

2an−2n

＝

n

2n

，故S_n=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，由错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）Sn−

3n

2n+1

=

(n+2)•[2n−(2n+1)]

(2n+1)•2n

，当n=1时，Sn＜

3n

2n+1

；n=2时，Sn＜

3n

2n+1

；n≥3时，Sn−

3n

2n+1

＞0，由此知n=1或2时，Sn＜

3n

2n+1

；n≥3时，Sn＞

3n

2n+1

．

（1）证法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an−n＝1×2n−1，
∴an＝2n−1+n．…（4分）
证法二：
an+1−(n+1)
an−n＝
2an−n+1−(n+1)
an−n
=
2an−2n
an−n＝2，
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an−n＝1×2n−1，∴an＝2n−1+n．…（4分）
（2）∵bn＝
n
2an−2n，
∴bn＝
n
2an−2n＝
n
2n．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=
1
2+2•(
1
2)2+…+n•(
1
2)n，…①
∴
1
2Sn＝(
1
2)2+2•(
1
2)3+…+（n-1）•(
1
2)n+n•(
1
2)n+1，…②
由①-②，得
1
2Sn＝
1
2+(
1
2)2+…+(
1
2)2−n•(
1
2)n+1
=

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列的证明和数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的比较．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．