（2013•南京一模）已知AB、MN为圆C：（x-2）2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为R（3，a），若四边形ABM

（2013•南京一模）已知AB、MN为圆C：（x-2）²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为R（3，a），若四边形ABMN的面积的最大值为14，则a=

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zyq_0314 春芽

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解题思路：如图所示，①当AB或MN中有一条为直径而另一条垂直于x轴时，不妨设此时|AB|=6，|MN|=2

r2−(3−2)2

，可得四边形ABMN的面积，判定是否符合条件；
②当AB，MN都不为直径时，分别过圆心作到两条垂直弦的垂线，设到弦的距离分别d₁，d₂．可得

＝(3−2)2+a2＝1+a2．
假设存在a的值满足条件，则[1/2|AB| |MN|＝14，可得|AB||MN|=28．利用垂径定理和勾股定理可得：(

|AB|)2＝9−

]，(

|MN|)2＝9−

，再利用基本不等式的性质可得|AB|²+|MN|²=72−4(

)=68-4a²≥2|AB||MN|=56，化为a²≤2，即可得出a的值．

如图所示，①当AB或MN中有一条为直径而另一条垂直于x轴时，不妨设此时|AB|=6，|MN|=2
r2−(3−2)2=2
2，可得SANBM＝
1
2×6×4
2＝12
2＞14，不符合条件，应舍去；
②当AB，MN都不为直径时，分别过圆心作到两条垂直弦的垂线，设到弦的距离分别d₁，d₂．
则
d21+
d22＝(3−2)2+a2＝1+a2．
假设存在a的值满足条件，则[1/2|AB| |MN|＝14，
可得|AB||MN|=28．
利用垂径定理和勾股定理可得：(
1
2|AB|)2＝9−
d21]，(
1
2|MN|)2＝9−
d22，
∴|AB|²+|MN|²=72−4(
d21+
d22)=68-4a²≥2|AB||MN|=56，化为a²≤3，
当且仅当a=±

点评：
本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：熟练掌握垂径定理、圆的标准方程、勾股定理、两点间的公式、分类讨论思想方法等是解题的关键．

1年前

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