mldglb 幼苗
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(1)f(1)=-a+1,
k1=f′(1)=1-a,所以切线l的方程为
y-f(1)=k1×(x-1),即y=(1-a)x
作F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,则
x (0,1) 1 (1,+∞)
F′(x) + 0 -
F(x) ↗ 最大值 ↘F′(x)=[1/x]-1=[1/x](1-x),解F′(x)=0得x=1.
所以任意x>0且x≠1,F(x)<0,f(x)<(1-a)x,
即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.
(2)令y=0,即lnx=ax-1,画图可知
当a≤0时,直线y=ax-1与y=lnx的图象有且只有一个交点,即一个零点;
当a>0时,设直线y=ax-1与y=lnx切于点(x0,lnx0),切线斜率为k=
1
x0
∴切线方程为y-lnx0=
1
x0(x-x0),把(0,-1)代入上式可得x0=1,k=1
∴当0<a<1时,直线y=ax-1与y=lnx有两个交点,即两个零点;
当a=1时直线y=ax-1与y=lnx相切于一点,即一个零点;
当a>1时直线y=ax-1与y=lnx没有交点,即无零点.
综上可知,当a>1时,f(x)无零点;当a=1或a≤0时,f(x)有且仅有一个零点;
当0<a<1时,f(x)有两个零点.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.
考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,还考查了数形结合的思想,是一道中档题;
1年前
1年前1个回答
(2012•合肥一模)函数f(x)=lnx-ax(a>0).
1年前1个回答
(2012•泰安二模)设a∈R,函数f(x)=lnx-ax.
1年前1个回答
(2012•佛山一模)设a∈R,函数f(x)=lnx-ax.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗