（2012•钟祥市模拟）已知函数f（x）=lnx-ax2+（a-2）x．

解题思路：由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，f′(x)＝

1

x

−2ax+a−2＝

−2ax2+(a−2)x+1

x

＝

−(2x−1)(ax+1)

x

，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围判断f′（x）的符号
（II）（i）由（I）知f′（x）=-（a+1）=-2可求a，从而可求f（x）
（ii）由于

f(x)

x+1

+x+

1

x

−

lnx

x−1

=

1

x2−1

(x−

1

x

−2lnx)，令g(x)＝x−

1

x

−2lnx(x＞0，x≠1)对函数g（x）求导可得g（x）在（0，1）单调递增，，g（x）在（1，+∞）单调递增，g（x）＞g（1）=0，可证

由题意可得，f（x）定义域为（0，+∞）
（I）对函数求导可得，f′(x)＝
1
x−2ax+a−2＝
−2ax2+(a−2)x+1
x＝
−(2x−1)(ax+1)
x
①a≥0时，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，x∈(0，
1
2)，由f′（x）＜0可得x∈(
1
2，+∞)
∴f（x）在（0，[1/2]）单调递增，在（[1/2]，+∞）单调递减
②a＜0时，令f′（x）=0可得x₁=[1/2]或x2＝
1
a
（i）当-2＜a＜0时−
1
a＞
1
2
由f′（x）＜0可得x∈(
1
2，−
1
a)，由f′（x）＞0可得x∈(0，
1
2)∪(−
1
a，+∞)
故f（x）在(
1
2，−
1
a)单调递减，在（0，[1/2]），(−
1
a，+∞)单调递增
（ii）当a＜-2时，同理可得f（x）在（-[1/a，
1
2]）单调递减，在（0，-[1/a]），(
1
2，+∞)单调递增
（iii）当a=-2时，f′(x)＝
(2x−1)2
x≥0
∴f（x）在（0，+∞）增…..（6分）
（II）（i）由（I）知）知f′（x）=-（a+1）=-2
∴a=1
∴f（x）=lnx-x²-x…．（8分）
（ii）证明：
f(x)
x+1+x+
1
x−
lnx
x−1＝
lnx−x2−x
x+1+x+
1
x−
lnx
x−1＝

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，及利用导数证明不等式中的应用，属于中档试题