已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）

解题思路：（I）求导函数，确定F（x）的解析式，即可求F（x）的最小正周期及单调区间；
（Ⅱ）由x∈[−

π

8

，

π

4

]，可得2x+

π

4

∈[0，

3π

4

]，从而可求函数F（x）在[−

π

8

，

π

4

]上的值域；
（Ⅲ）由f（x）=2f′（x），可得tanx=[1/3]，利用二倍角公式，弦化切，即可求

1+sin2x

cos2x−sinxcosx

的值．

（I）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+
2sin（2x+[π/4]），
∴最小正周期为T=[2π/2]=π．
由2x+[π/4]∈[-[π/2]+2kπ，[π/2]+2kπ]，可得单调递增区间：[−
3π
8+kπ，
π
8+kπ]，
由2x+[π/4]∈[[π/2]+2kπ，[3π/2]+2kπ]，可得单调递减区间：[
π
8+kπ，
5π
8+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[−
π
8，
π
4]，
∴2x+
π
4∈[0，
3π
4]，
∴sin（2x+[π/4]）∈[0，1]，
∴函数F（x）的值域为[1，1+
2]，
（III）∵f（x）=2f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，∴tanx=[1/3]，
∴[1+sin2x/cos2x−sinxcosx]=[2sin2x+cos2x/cos2x−sinxcosx]=[2tan2x+1/1−tanx]=
2•
2tanx
1−tan2x+1
1−tanx=[11/6]．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．