（2008•江西）已知函数f(x)＝11+x+11+a+axax+8，x∈（0，+∞）．

解题思路：（1）把a=8代入函数解析式，求出函数的导数，并判断导数的符号，得到函数的单调区间．
（2）令b＝

8

ax

，则abx=8①，f(x)＝

1

1+x

+

1

1+a

+

1

1+b

②，将f（x）解析式进行放缩，使用基本不等式，可证
f（x）＞1，由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2，当a+b≥7，将f（x）解析式进行放缩，可证f（x）＜2；当a+b＜7③，将f（x）解析式进行放缩，再使用基本不等式证明f（x）＜2，结论得证．

（1）当a=8时，f(x)＝
1+
x

1+x+
1
3，求得f′(x)＝
1−
x
2
x(1+x)3，
于是当x∈（0，1]时，f'（x）≥0；而当x∈[1，+∞）时，f'（x）≤0．
即f（x）在（0，1]中单调递增，而在[1，+∞）中单调递减．
（2）对任意给定的a＞0，x＞0，由f(x)＝
1

1+x+
1

1+a+
1

1+
8
ax，
若令b＝
8
ax，则abx=8①，且f(x)＝

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法、基本不等式法证明不等式，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．