如图，△ABC是正三角形，将各边三等分，设分点分别为D、E、F、G、H、I．求证：六边形DEFGHI是正六边形．

解题思路：由条件可证明△ADI、△BEF、△CGH均为正三角形，可得到六边形DEFGHI的六个边都相等，再利用等边三角形的角都为60°，可证明六边形DEFGHI的六个内角也都相等，可得结论．

证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°，AB=AC，
∵D、I三等分AB和AI，
∴AD=AI，
∴△ADI为正三角形，
同理可得△BEF、△CGH均为正三角形，
∴DE=EF=FG=GH=HI=ID，
且∠ADI=∠AID=∠BEF=∠BFE=∠CGH=∠CHG=60°，
∴∠EDI=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HID=120°，
∴六边形DEFGHI是正六边形．

点评：
本题考点： 等边三角形的性质．

考点点评： 本题主要考查正三角形的性质和判定，掌握证明六边形的所有的边都相等，所有的内角都相等是解题的关键．