已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点Q（-1，22），且离心率e=22．

解题思路：（Ⅰ）由题意，根据椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点Q（-1，22），且离心率e=22，建立a，b，c的方程求解即可；（Ⅱ）问是否存在的问题在圆锥曲线中就先假设存在，并把直线方程与椭圆方程进行连联立，利用设而不求整体代换进行求解．

（Ⅰ）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2=1（a＞b＞0）过点Q（-1，

2
2），且离心率e=

2
2，
∴[c/a]=

2
2，[1
a2+

1/2
b2＝1…（2分）
解得a=
2]，b=1…（4分）
∴椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1…（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率为0或不存在时，不存在符合题意的点P；…（6分）
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x=1+my（m≠0）
代入
x2
2+y2＝1，整理得（m²+2）y²+2my-1=0
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则y₁+y₂=-[2m
m2+2，y₁y₂=-
1
m2+2，
设存在符合题意的点P（2，t）（t≠0），
则|AB|=
1+m2|y₁-y₂|=
1+m2•
(y1+y2)2−4y1y2=
2
2(m2+1)
m2+2…（8分）
设线段AB的中点M（x₃，y₃），则y₃=-
m
m2+2，
∴x₃=1+my₃=
2
m2+2
∵△ABP是正三角形，
∴AB⊥PM且|PM|=

3/2]|AB|…（9分）
由AB⊥PM得k_AB•k_PM=-1，∴y_P-y₃=-m（x_P-x₃）
∴|PM|=
1+m2•|2-[2
m2+2|…（10分）
由|PM|=

3/2]|AB|得
1+m2•|2-[2
m2+2|=

3/2]•
2
2(m2+1)
m2+2，
解得m=±

2
2…（12分）
由y_P-y₃=-m（x_P-x₃）得t-（-[m
m2+2）=-m•
2(m2+1)
m2+2
∴t=-
m(2m2+3)
m2+2=±
4
2/5]
∴存在符合题意的点P（2，±
4
2
5）…（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查利用方程的思想由题意列出变量a，b的两个方程，然后求解曲线的轨迹方程；考查把直线方程与圆锥曲线方程进行联立设而不求整体代换的思想，还有对于圆锥曲线中是否存在利用假设的解题方法．