如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率e＝63．
如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率e＝
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（1）求椭圆E的方程；
（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．
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解题思路：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆E经过点A（3，1），离心率e＝
，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆E的方程；
（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．
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（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．
（1）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），因为离心率e＝
6
3，所以a2=3b2，…（2分）
所以椭圆方程为
x2
3b2+
y2
b2＝1，
又因为经过点A（3，1），则[9
3b2+
1
b2＝1，…（4分）
所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为
x2/12+
y2
4＝1．…（6分）
（2）证明：直线AC的方程为y=x-2，与椭圆方程联立，可得x2-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）
直线BD的方程为y=-x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=±
3]，∴B（
3，−
3），D（−
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
1年前
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