如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,离心率为\sqrt{3}/2,且经过点M（2,1）直线AB
如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,离心率为sqrt{3}/2,且经过点M（2,1）直线AB
平行于OM,且交椭圆于A`B两点.（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB在Y轴上截距的取值范围；（3）记直线MA`AB斜率分别为k1,k2.试问k1+k2是否为定值?若是,求出k1+k2的值,否则,说明理由.
平行于OM,且交椭圆于A`B两点.（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB在Y轴上截距的取值范围；（3）记直线MA`AB斜率分别为k1,k2.试问k1+k2是否为定值?若是,求出k1+k2的值,否则,说明理由.
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∵e=
c
a
＝
3
2
,∴设椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
＝1,
将M（2,1）代入,得
4
4b2
+
1
b2
＝1,解得b2=2,
所以椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
2
＝1,
因此左焦点为（-
6
,0）,斜率k1＝kOM＝
1
2
,
所以直线l的方程为y=
1
2
（x+
6
）,即y=
1
2
x+
6
2
．
（2）证明：设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则k1＝
y1−1
x1−2
,k2＝
y2−1
x2−2
,
∴k1+k2=
y1−1
x1−2
+
y2−1
x2−2
=
(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)
(x1−2)(x2−2)
=
(
1
2
x1+m−1)(x2−2)+(
1
2
x2+m−1)(x1−2)
(x1−2)(x2−2)
=
x1x2+(m−2)(x1+x2)−4(m−1)
(x1−2)(x2−2)
,（*）
设l：y=
1
2
x+m,由
y＝
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
＝1
,得x2+2mx+2m2-4=0,
所以x1+x2=-2m,x1x2＝2m2−4,
代入（*）式,得
k1+k2=
2m2−4+(m−2)(−2m)−4(m−1)
(x1−2)(x2−2)
=
2m2−4−2m2+4m−4m+4
(x1−2)(x2−2)
=0．
所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形．
c
a
＝
3
2
,∴设椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
＝1,
将M（2,1）代入,得
4
4b2
+
1
b2
＝1,解得b2=2,
所以椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
2
＝1,
因此左焦点为（-
6
,0）,斜率k1＝kOM＝
1
2
,
所以直线l的方程为y=
1
2
（x+
6
）,即y=
1
2
x+
6
2
．
（2）证明：设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则k1＝
y1−1
x1−2
,k2＝
y2−1
x2−2
,
∴k1+k2=
y1−1
x1−2
+
y2−1
x2−2
=
(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)
(x1−2)(x2−2)
=
(
1
2
x1+m−1)(x2−2)+(
1
2
x2+m−1)(x1−2)
(x1−2)(x2−2)
=
x1x2+(m−2)(x1+x2)−4(m−1)
(x1−2)(x2−2)
,（*）
设l：y=
1
2
x+m,由
y＝
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
＝1
,得x2+2mx+2m2-4=0,
所以x1+x2=-2m,x1x2＝2m2−4,
代入（*）式,得
k1+k2=
2m2−4+(m−2)(−2m)−4(m−1)
(x1−2)(x2−2)
=
2m2−4−2m2+4m−4m+4
(x1−2)(x2−2)
=0．
所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形．
1年前
6
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