证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值．

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函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份,分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义,和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k),通项相等,也就是说你的式子等于上面的和式.
于是
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2

1年前追问

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谢谢！若是证明：当n趋于无穷大时lim［1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／（n＋n）］，你的做法完全对，但现在和式共有2n＋1项啊！还能用定积分定义吗？

举报 mengjie001

设f(n) = 1／n+1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/3n 则f(n+1) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/3(n+1) 则f(n+2) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/[3(n+1)+1] = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(3n+4) 则f(n+1)-f(n+2) = 1/(n+1) - [1/(3n+2) + 1/(3n+3) + 1/(3n+4)] = 1/(n+1) - [1/(3n+3)+(3n+2+3n+4)/((3n+2)(3n+4))] = 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+2)(3n+4))] 因为(3n+2)(3n+4)=9n^2+18n+8<9n^2+18n+9=(3n+3)^2. 所以1/【(3n+2)(3n+4)】>1 /【(3n+3)(3n+3)】……应用到下式；则f(n+1)-f(n+2)< 1/(n+1) - [1/(3n+3) + (6n+6)/((3n+3)(3n+3))] 则f(n+1)-f(n+2)< 1/(n+1) - [1/(3n+3) + 2/(3n+3)] 则f(n+1)-f(n+2)< 1/(n+1) - 3/(3n+3)=0 则f(n+1)-f(n+2)< 0 所以f(n+1)-f(n+2)<0，说明数列f(n+1)递增，同理f(n)亦递增；因此数列f(n)的最小值等于f(1) = 1+1/2 + 1/3 = 11/6 所以f(n)>11/6，对所有自然数n成立；综上所得：f(n)的最小值为11/6。希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~ 祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

formyangel 幼苗

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利用1+1/2+..+1/n-log(n)=c+o(1)
原式为lim（log(3n)-log(n-1)+o(1)）=log(3)看不懂，能否写详细些？嗯，你知道这个结论吗： lim(n→∞)[1+1/2+..+1/n-log(n)]=γ (称为欧拉常数=0.577...还不知是否是无理数)这个结论其实很容易证明。一般这样关于调和级数截取一段加和的极限都可以通过这个结论解决。由结...

1年前