已知函数f（x）=a-2ex+1在R上是奇函数．

（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵f（x）=a-
2
ex+1在R上是奇函数
∴f（0）=0，…（2分）
即a-
2
e0+1=0
∴a=1，此时f（x）=1-
2
ex+1…（4分）
经检验，当a=1时，f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函数，证明如下
∵f（x）=1-
2
ex+1
任取x₁，x₂∈R，，且x₁＜x₂…（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=
2(ex1−ex2)
(ex1+1)(ex2+1)…（10分）
∵x₁＜x₂
∴ex1＜ex2，（ex1+1）（ex2+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．…（13分）

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合．解决本题第一问的关键在于根据定义在R上的奇函数满足f（0）=0，求出a的值．