已知函数f（x）=1−x1+x2ex．

解题思路：（I）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取值范围即可得到单调区间；
（II）当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．利用导数先证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x₂∈（0，1），可得f（x₂）＜f（-x₂）．即f（x₁）＜f（-x₂）．由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，因此得证．

（I）易知函数的定义域为R．
f′(x)＝(
1−x
1+x2)′ex+
1−x
1+x2ex=
x2−2x−1
(1+x2)2ex+
1−x
1+x2ex=
−x[(x−1)2+2]
(1+x2)2ex，
当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（II）当x＜1时，由于
1−x
1+x2＞0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．
当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．
由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即证
1−x
1+x2ex＜
1+x
1+x2e−x．此不等式等价于(1−x)ex−
1+x
ex＜0．
令g（x）=(1−x)ex−
1+x
ex，则g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1−x)ex−
1+x
ex＜0．
∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
从而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．

考点点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．