（2012•石家庄一模）已知函数f（x）=2ex1+ax2（e为自然对数的底数）．

解题思路：（Ⅰ）求导函数可得f′(x)＝

2ex(1+ax2−2ax)

(1+ax2)2

，函数f（x）有极值，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，从而可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）-

2x2−mx+2

1+x2

=

2ex−2x2+mx−2

1+x2

，设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，证明h（x）在（0，+∞）上单调递增，即可证得结论．

（Ⅰ）由f（x）=
2ex
1+ax2，可得f′(x)＝
2ex(1+ax2−2ax)
(1+ax2)2，…．（2分）
依题意，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，
则：

a≠0
△＝4a2−2a＞0，…（4分）
解得：a＞1或a＜0．…（5分）
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=
2ex
1+x2，
∴f（x）-
2x2−mx+2
1+x2=
2ex−2x2+mx−2
1+x2，
设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
设g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，…（7分）
令g′（x）＜0，则0＜ln2；令g′（x）＞0，则x＞ln2；
∴函数g（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，…（9分）
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（0）=0，
∴h（x）＞0，…（11分）
∵1+x²＞0，∴
2ex−2x2+mx−2
1+x2＞0，
∴f（x）-
2x2−mx+2
1+x2=
2ex−2x2+mx−2
1+x2＞0，
即f（x）＞
2x2−mx+2
1+x2．…（12分）

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查函数思想的运用，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．