wangggha 幼苗
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(Ⅰ)F(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,F′(x)=ln(x+1),x∈(-1,0)F′(x)<0,F(x)为减函数;x∈(0,+∞),F′(x)>0,F(x)为增函数,
所以F(x)只有一个极小值点x=0,极小值为0.…(4分)
(Ⅱ) 设G(x)=ln(x+1)−f(x2)=ln(x+1)−[(x2+2)ln(x2+1)−ax22−x2]
依题意即求 G(x)在(-1,x2)上存在零点时a的取值范围.
又当x→-1时,G(x)→-∞,且G(x)在定义域内单调递增,
所以只需要G(x2)>0在(0,+∞)上恒成立.
即ln(x2+1)−[(x2+2)ln(x2+1)−ax22−x2]>0,在(0,+∞)上恒成立.
即(x2+1)ln(x2+1)−ax22−x2<0,在(0,+∞)上恒成立.…(7分)
1°若a=0,显然不成立,因为由第一问知F(x)=(x+1)ln(x+1)-x在(0,+∞)为增函数,
故F(x)>F(0)=0;
2°∵x+1>0,即ln(x+1)−
ax2+x
x+1<0在(0,+∞)恒成立,
不妨设h(x)=ln(x+1)−
ax2+x
x+1,x∈(0,+∞)h′(x)=
x(−ax+1−2a)
(x+1)2,x∈(0,+∞),h′(x)=
x(−ax+1−2a)
(x+1)2=0,x1=0,x2=
1−2a
a,…(9分)
若a<0,则x2=
1−2a
a<0,若x>0,h′(x)>0,所以h(x)为增函数,h(x)>h(0)=0(不合题意),
若0<a<
1
2,若x∈(0,
1−2a
a),h′(x)>0,h(x)为增函数,h(x)>h(0)=0(不合题意),
若a≥
1
2,若x∈(0,+∞),h′(x)<0,h(x)为减函数,h(x)<h(0)=0(符合题意),
综上所述,若x>0时,h(x)<0f(x)<0恒成立,
则a≥
1
2.…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想
1年前
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