（2014•宁波二模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为[1/2]，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的

（2014•宁波二模）已知椭圆Γ：

=1（a＞b＞0）的离心率为[1/2]，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l₁，l₂交于点F，其斜率k₁，k₂满足k₁k₂=-[3/4]．设l₁交椭圆Γ于A、C两点，l₂交椭圆Γ于B、D两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k₁的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．

novhua 1年前已收到1个回答举报

clmwhy 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导[c/a＝

2]，a+c=3，由此能求出椭圆Γ的方程．
（Ⅱ）由已知条件推导出F（1，0）．将通过焦点F的直线方程y=k（x-1）代入椭圆Γ的方程

＝1，得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，由此利用韦达定理结合函数的单调性能求出四边形ABCD的面积的最大值．

（本题满分15分）
（Ⅰ）设右焦点F（c，0）（其中c＝
a2−b2），
依题意[c/a＝
1
2]，a+c=3，
解得a=2，c=1．…（3分）
∴b＝
a2−c2＝
3，
∴椭圆Γ的方程是
x2
4+
y2
3＝1．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0）．
将通过焦点F的直线方程y=k（x-1）代入椭圆Γ的方程
x2
4+
y2
3＝1，
得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
其判别式△=（8k²）²-16（k²-3）（3+4k²）=144（k²+1）．
特别地，对于直线l₁，若设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则|AC|＝
(x2−x1)2+(y2−y1)2＝
1+
k21|x1−x2|

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

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