oifu24541 幼苗
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f(x) |
x−1 |
f(x) |
x−1 |
(Ⅰ)求导数可得f′(x)=a+lnx+1,
∵函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3,
∴f′(e)=3,∴a+lne+1=3,∴a=1(4分)
(Ⅱ)k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,∴k<
f(x)
x−1对任意x>1恒成立,
由(1)知,f(x)=x+xlnx,
令g(x)=
f(x)
x−1=[x+xlnx/x−1],则g′(x)=[x−lnx−2
(x−1)2,-----------------------(5分)
令h(x)=x-lnx-2(x>1),则h′(x)=
x−1/x]>0,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.…(7分)
因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,…(9分)
所以函数g(x)=
f(x)
x−1=[x+xlnx/x−1]在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
所以g(x)min=g(x0)=x0.
因为x0>3,所以x>1时,k<3恒成立
故整数k的最大值是3.…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题时构造函数是关键.
1年前
(2014•许昌二模)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
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