若函数f(x)＝(a−1)2−2sin2x−2acosx(0≤x≤π2)的最小值是-2，求实数a的值，并求出此时f（x）

解题思路：利用同角三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，即可用cosx表示f（x）；换元t=cosx，0≤x≤

π

2

则t∈[0，1]，问题转化为二次函数闭区间上的最小值问题，通过分类

a

2

＜ 0，0≤

a

2

≤1，

a

2

＞1，分别利用f（x）的最小值是-2，求实数a的值．

函数f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx
=（a-1）²-2+cos²x-2acosx
=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．令t=cosx，则t∈[0，1]，
y＝2(t−
a
2)2+
a2
2−2a−1，t∈[0，1]
①当[a/2≤0，即a≤0时，ymin＝(a−1)2−2＝−2，故a=1（舍）
②当0＜
a
2＜1，即0＜a＜2时，ymin＝
a2
2−2a−1＝−2
解得a＝2±
2]，取a＝2−
2，此时y_max=-1
③当[a/2≥1，即a≥2时，ymin＝a2−4a+1＝−2
解得a=1（舍）或a=3，，此时y_max=2
综上，当a＝2−
2]时y_max=-1；当a=3时y_max=2

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查换元法，分类讨论的数学思想，二次函数闭区间上的最值的应用，考查转化思想，计算能力．